这一篇我们接着上面的内容，继续谈古琴中的数理原理。首先还是把波动方程的解析解列出来：
公式里的f就是振动的频率，单位是赫兹（Hz），即每秒钟振动的次数，频率越高，音调就越高。L是弦的长度，T是弦中的张力，μ是线密度也称为纤度，是指一物体单位长度下的质量。
徽位：
古琴上有十三个徽，代表了一年十二个月加一个闰月，想必每个弹琴的人都是这么学的。可是这十三个徽的位置是怎么定出来的呢？就算你不是斫琴人，通过简单的测量，甚至是估计，都不难找出每个徽位的相对位置的。让我们假设总有效弦长为1，那么从右边的岳山算起，每个徽的对应的弦上的位置就可以用下面的表格写出来：
根据公式我们可以知道，弦长成整数倍关系的时候，频率也成整数倍。如果两个频率成整数倍，声音会比较和谐。这个规律早在古希腊时期的毕达格斯家就曾经发现过。我们还可以算出来，按在七徽的时候，弦长正好是空弦的一半，所以振动频率高一倍，在音乐上讲，就是高了一个八度。而按在四徽的时候，则高了两个八度，按在一徽的时候，高了三个八度。
九十徽：
九徽和十徽是两个最常用的徽，古人弹琴的口诀说：凡弹操缦者，皆按十徽音，十徽寻不见，方去九徽寻。从上面的比例中，我们可以算出，九徽的音和空弦音是纯五度的关系，十徽的音和空弦音是纯四度的关系。而从音律上讲，纯四度和纯五度都是比较和谐的音程，所以这两个徽才会这么常用。在古代音律中，五音是和五行生克相对应的。我们把和一个音成纯四度的音成为这个音的母音，而成纯五度的音称为这个音的子音。
废徽：
琴上有四个徽被称为废徽：三徽、六徽、八徽、十一徽。为什么这四个徽被称为废徽，乍一看摸不着头脑，但是，仔细看看上面的表，我们就会发现，这是符合数学规律的，因为这些徽位都在五分之几的地方。所以查阜西先生在《中国声律之调停与琴之声律》一文中说：“三徽为琴弦全弦1/5，六徽为2/5，八徽为3/5，十一徽为4/5，按之声数，无论如何，皆不能中律。故此四徽，实废徽也。”其实在四个徽位在琴谱上还是常见的，只不过它们在五分之几的位置，不容易形成和谐音，所以用的较少而已。
几个常用的徽位：
除了整数的徽位之外，琴谱上还经常出现一些徽和徽之间的位置，最常见的包括：徽外（卜），十徽八分（十八），八徽半（八半），七徽九分（七九），七徽六分（七六），六徽四分（六四），六徽二分（六二），五徽六分（五六）。这些位置又是怎么来的呢？为什么这些位置比较常见呢？显而易见的答案是这些位置对应了一些全音或者半音。比如我们按空弦音为C计算，那么上述的徽位分别对应了：D,E,G#,A,A#,D,D#,F这几个音。空弦为其他音的时候可以类推，在这里就不赘述了。
那么，现在的问题是，这些几徽几分的标注，准确性如何呢？我们继续用数学的方法来找答案：
首先，按照上表，我们计算出了这些徽位的位置。还是假设总弦长为1。计算方法也很简单，比如：
我们保留四位有效数字，再分别和两种律制，即三分损益律和十二平均律，进行对比：
首先，关于徽外的位置，从十三徽到琴尾，其实有很大一段长度，而一般琴谱上笼统的记为徽外。而上表中我们把徽外的位置按8/9来计算，因为这个位置对应了D音。根据数据对比，这个位置还是相当合理的。所以徽外的按弦位置应该在8/9处，也就是距离十三徽0.倍弦长的位置，即大约在十三徽一分处。
根据表上的数据可以看出来，琴谱上标注的位置还是相当精确的。我们在上一篇文章中谈到过，按音的实际位置和琴谱上标注的位置是有差距的，差距大概是“一分”的长度。如果古人是按照实际按弦的位置记谱的，那么计算出来的结果不会像上表那么精确。所以，我们可以做出这样的推测：这些徽位的位置是经过古人计算的。
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